Nájdite energiu interakcie dvoch rovnomerne nabitých guľôčok. Energia elektrického poľa

Jedným z najzaujímavejších a najužitočnejších objavov v mechanike je zákon zachovania energie. Keď poznáme vzorce pre kinetickú a potenciálnu energiu mechanického systému, sme schopní zistiť spojenie medzi stavmi systému v dvoch rôznych časových momentoch bez toho, aby sme sa ponorili do detailov toho, čo sa medzi týmito momentmi deje. Teraz chceme určiť energiu elektrostatických systémov. V elektrine sa šetrenie energie ukáže rovnako užitočné pri objavovaní mnohých zaujímavých faktov.

Zákon, podľa ktorého sa energia mení počas elektrostatickej interakcie, je veľmi jednoduchý; v skutočnosti sme to už rozoberali. Nech sú poplatky q 1 A q2, oddelené medzerou r 12. Tento systém má určitú energiu, pretože spojenie nábojov si vyžadovalo určitú prácu. Vypočítali sme vykonanú prácu, keď sa dva náboje priblížili k sebe z veľkej vzdialenosti; je to rovné

Z princípu superpozície vieme, že ak je nábojov veľa, tak celková sila pôsobiaca na ktorýkoľvek z nábojov sa rovná súčtu síl pôsobiacich na všetky ostatné náboje. Z toho vyplýva, že celková energia sústavy viacerých nábojov je súčtom členov vyjadrujúcich interakciu každej dvojice nábojov samostatne. Ak q¡ A q j- niektoré dva náboje a vzdialenosť medzi nimi r ij(obr. 8.1), potom sa energia tohto konkrétneho páru rovná

Celková elektrostatická energia U je súčet energií všetkých možných párov nábojov:

Ak je rozdelenie dané hustotou náboja ρ, potom treba súčet v (8.3) samozrejme nahradiť integrálom.

O energii sa tu budeme baviť z dvoch pohľadov. Najprv - aplikácie koncepcie energie k elektrostatickým problémom; druhý - rôzne spôsoby hodnotenia energetické hodnoty. Niekedy je v niektorých prípadoch jednoduchšie vypočítať vykonanú prácu, ako odhadnúť hodnotu súčtu v (8.3) alebo hodnotu zodpovedajúceho integrálu. Pre vzorku vypočítame energiu potrebnú na zostavenie rovnomerne nabitej gule z nábojov. Energia tu nie je nič iné ako práca, ktorá sa vynakladá na zbieranie nábojov z nekonečna.

Predstavte si, že staviame guľu postupným vrstvením guľových vrstiev nekonečne malej hrúbky na seba. V každej fáze procesu odoberáme malé množstvo elektriny a umiestňujeme ju v tenkej vrstve od r do r +DR. Takto pokračujeme, kým nedosiahneme daný polomer A(obr. 8.2). Ak Q r — je náboj na guli v momente, keď sa gulička dostane do polomeru r, potom práca potrebná na dodanie náboja do loptičky dQ, rovná

Ak je hustota náboja vo vnútri gule ρ, potom náboj Q r rovná sa

a poplatok dQ rovná sa

Príklad 2

Určte elektrickú energiu interakcie nabitého prstenca s dipólom umiestneným na jeho osi, ako je znázornené na obr. Známe vzdialenosti a, l, poplatky Q, q a polomer prstenca R.

Riešenie.

Pri riešení problému treba brať do úvahy všetky energie párových interakcií nábojov jedného telesa (prsteň) s nábojmi iného telesa (dipólu). Energia interakcie bodového náboja q s poplatkom Q distribuovaný v kruhu je určený súčtom

kde je náboj nekonečne malého fragmentu kruhu, - vzdialenosť od tohto fragmentu k náboju q. Pretože všetci sú rovnakí a rovnakí

Podobne nájdeme interakčnú energiu bodového náboja – q s nabitým prstencom:

Zhrnutie W 1 a W 2 získame pre energiu interakcie prstenca s dipólom:

Elektrická energia nabitých vodičov

Príklad 3

Určte prácu vykonanú elektrickými silami, keď sa polomer rovnomerne nabitej gule zníži o faktor 2. Guľový náboj q, jeho počiatočný polomer R.

Riešenie.

Elektrická energia osamelého vodiča je určená vzorcom, kde q– náboj vodiča, j – jeho potenciál. Vzhľadom na to, že potenciál rovnomerne nabitej gule s polomerom R sa rovná , nájdime jeho elektrickú energiu:

Po polovičnom polomere gule sa jej energia rovná

Elektrické sily fungujú

Príklad 4.

Dve kovové gule, ktorých polomery sú r a 2 r a príslušné poplatky sú 2 q a - q, ktorý sa nachádza vo vákuu vo veľkej vzdialenosti od seba. Koľkokrát sa zníži elektrická energia systému, ak sú guličky spojené tenkým drôtom?

Riešenie.

Po spojení guľôčok tenkým drôtom sa ich potenciál zhoduje

a stabilné náboje loptičiek Q 1 a Q 2 sa získajú ako výsledok toku náboja z jednej gule do druhej. V tomto prípade zostáva celkový náboj guľôčok konštantný:

Z týchto rovníc zistíme

Energia guľôčok pred ich spojením drôtom sa rovná

a po pripojení

Nahradenie hodnôt do posledného výrazu Q 1 a Q 2, získame po jednoduchých transformáciách

Príklad 5.

Zlúčené do jednej gule N= 8 rovnakých guľôčok ortuti, z ktorých každá má náboj q. Za predpokladu, že v počiatočnom stave boli ortuťové guľôčky od seba vo veľkej vzdialenosti, určte, koľkokrát sa elektrická energia systému zvýšila.

Riešenie.

Keď sa ortuťové guľôčky zlúčia, ich celkový náboj a objem sa zachovajú:

Kde Q- náboj lopty, R- jeho polomer, r je polomer každej malej ortuťovej guľôčky. Celková elektrická energia N osamelé lopty sa rovná

Elektrická energia výslednej gule

Po algebraických transformáciách dostaneme

= 4.

Príklad 6.

Kovová guľa s rádiusom R= 1 mm a nabite q= 0,1 nC z veľkej vzdialenosti sa pomaly približuje k nenabitému vodiču a zastaví sa, keď sa potenciál gule rovná j = 450 V. Koľko práce treba na to urobiť?

Riešenie.

Kde q 1 a q 2 – náboje vodičov, j 1 a j 2 – ich potenciály. Keďže vodič podľa problému nie je nabitý, potom

Kde q 1 a j 1 náboj a potenciál gule. Keď sú loptička a nenabitý vodič vo veľkej vzdialenosti od seba,

a elektrickej energie systému

V konečnom stave systému, keď sa potenciál lopty rovná j, elektrická energia systému je:

Práca vonkajších síl sa rovná prírastku elektrickej energie:

= -0,0225 uJ.

Všimnite si, že elektrické pole v konečnom stave sústavy vytvárajú náboje indukované na vodiči, ako aj náboje nerovnomerne rozložené po povrchu kovovej gule. Je veľmi ťažké vypočítať toto pole pri známej geometrii vodiča a danej polohe kovovej gule. Nepotrebovali sme to urobiť, pretože problém nešpecifikuje geometrickú konfiguráciu systému, ale potenciál lopty v konečnom stave.

Príklad 7.

Systém pozostáva z dvoch sústredných tenkých kovových plášťov s polomermi R 1 a R 2 (a príslušné poplatky q 1 a q 2. Nájdite elektrickú energiu W systémov. Zvážte aj špeciálny prípad, keď .

Riešenie.

Elektrická energia systému dvoch nabitých vodičov je určená vzorcom

Na vyriešenie úlohy je potrebné nájsť potenciály vnútornej (j 1) a vonkajšej (j 2) sféry. Nie je to ťažké urobiť (pozri príslušnú časť návodu):

, .

Nahradením týchto výrazov do vzorca pre energiu dostaneme

Keď je energia rovnaká

Vlastná elektrická energia a interakčná energia

Príklad 8.

Dve vodivé gule, ktorých náboje q a - q, polomery R 1 a R 2 sú umiestnené vo vákuu vo veľkej vzdialenosti od seba. Guľa s väčším polomerom R 2 pozostáva z dvoch hemisfér. Hemisféry sú oddelené, privedené do sféry polomeru R 1 a sú opäť spojené, čím vytvárajú guľový kondenzátor. Určte prácu elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora.

Riešenie.

Elektrická energia dvoch nabitých gúľ vzdialených od seba sa rovná

Elektrická energia výsledného guľového kondenzátora:

Potenciál vnútornej sféry je potenciálom vonkajšej sféry. teda

Práca elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora:

Všimnite si, že elektrická energia guľového kondenzátora W 2 sa rovná práci vykonanej vonkajšími silami na nabitie kondenzátora. V tomto prípade fungujú elektrické sily. Táto práca sa vykonáva nielen vtedy, keď sa nabité dosky priblížia k sebe, ale aj keď sa na každú z dosiek aplikuje náboj. Preto A EL sa líši od práce uvedenej vyššie A, zdokonalený elektrickými silami až vtedy, keď sa dosky spoja.

Príklad 9.

Bodový poplatok q= 1,5 µC sa nachádza v strede guľového obalu, po povrchu ktorého je náboj rovnomerne rozložený Q= 5 uC. Nájdite prácu vykonanú elektrickými silami pri rozťahovaní plášťa - jeho polomer sa zväčšuje R 1 = 50 mm až R 2 = 100 mm.

Riešenie.

Energia interakcie bodového náboja q s nábojmi umiestnenými na sférickom plášti polomeru R rovná

Samoelektrická energia plášťa (energia vzájomného pôsobenia nábojov plášťa) sa rovná:

Práca elektrických síl počas expanzie plášťa:

Po transformáciách dostaneme

1,8 J.

Iné riešenie

Predstavme si bodový náboj vo forme rovnomerne nabitej gule s malým polomerom r a nabíjať q. Celková elektrická energia systému sa rovná

Potenciál polomeru sféry r,

Potenciál polomeru sféry R. Keď sa vonkajšia guľa roztiahne, elektrické sily fungujú

Po substitúciách a transformáciách dostaneme odpoveď.

Príklad 10.

Aká časť elektrickej energie nabitej vodivej gule umiestnenej vo vákuu je obsiahnutá v imaginárnej gule sústrednej s guľou, ktorej polomer je n krát polomer lopty?

Riešenie.

Objemová hustota energie elektrického poľa

definuje elektrickú energiu lokalizovanú v nekonečne malom objeme ( E– modul vektora intenzity elektrického poľa v tomto objeme, e – dielektrická konštanta). Aby sme vypočítali celkovú elektrickú energiu nabitej vodivej gule, mentálne rozdeľme celý priestor na nekonečne tenké sférické vrstvy sústredné s nabitou guľou. Zoberme si jednu z týchto vrstiev polomeru r a hrúbka DR(pozri obr. 5). Jeho objem je

a elektrická energia sústredená vo vrstve

Napätie E pole nabitej vodivej gule závisí, ako je známe, od vzdialenosti r do stredu lopty. Vo vnútri gule teda pri výpočte energie stačí uvažovať len tie sférické vrstvy, ktorých polomer r ktorý presahuje polomer gule R.

Keď sila poľa

dielektrická konštanta a preto

Kde q– náboj lopty.

Celková elektrická energia nabitej gule je určená integrálom

a energia sústredená vo vnútri pomyselnej sféry polomeru nR, je rovnaký

teda


Obr.5	Obr.6	Obr.7

Príklad 11.

Určte elektrickú energiu systému pozostávajúceho z nabitej vodivej gule a s ňou sústrednej nenabitej vodivej guľovej vrstvy (obr. 6). Vnútorný a vonkajší polomer vrstvy a A b, polomer gule, náboj q, systém je vo vákuu.

Kapitola 8

ELEKTROSTATICKÁ ENERGIA

§1.Elektrostatická energia nábojov. Homogénna guľa

§ 2. Energia kondenzátora. Sily pôsobiace na nabité vodiče

§ 3. Elektrostatická energia iónového kryštálu

§ 4. Elektrostatická energia jadra

§5. Energia v elektrostatickom poli

§ 6 Energia bodového náboja

Opakujte: Ch. 4 (vydanie 1) „Úspora energie“; Ch. 13 a 14 (vydanie 1) „Práca a potenciálna energia“

§ 1. Elektrostatická energia nábojov. Homogénna guľa

Zákon, podľa ktorého sa energia mení počas elektrostatickej interakcie, je veľmi jednoduchý; v skutočnosti sme to už rozoberali. Nech sú poplatky q 1 a q 2 , oddelené medzerou r 12. Tento systém má určitú energiu, pretože spojenie nábojov si vyžadovalo určitú prácu. Vypočítali sme vykonanú prácu, keď sa dva náboje priblížili k sebe z veľkej vzdialenosti; je to rovné

Z princípu superpozície vieme, že ak je nábojov veľa, tak celková sila pôsobiaca na ktorýkoľvek z nábojov sa rovná súčtu síl pôsobiacich na všetky ostatné náboje. Z toho vyplýva, že celková energia sústavy viacerých nábojov je súčtom členov vyjadrujúcich interakciu každej dvojice nábojov samostatne. Ak q i A q j - - niektoré dva z nábojov, a vzdialenosť medzi nimi r ij(obr. 8.1),

Obr. 8.1. Elektrostatická energia systému častíc je súčtom elektrostatických energií každého páru.

potom je energia tohto konkrétneho páru rovnaká

Celková elektrostatická energia U je súčet energií všetkých možných párov nábojov:

Ak je rozdelenie dané hustotou náboja r, potom treba súčet v (8.3) samozrejme nahradiť integrálom.

Predstavte si, že staviame guľu postupným vrstvením guľových vrstiev nekonečne malej hrúbky na seba. V každej fáze procesu odoberáme malé množstvo elektriny a umiestňujeme ju v tenkej vrstve od r do r+dr. Takto pokračujeme, kým nedosiahneme daný polomer A(obr. 8.2). Ak Q r-- je náboj na loptičke v momente, keď sa gulička dostane do polomeru r, potom je práca potrebná na dodanie náboja do loptičky dQ, rovná

Obr. 8.2. Energiu rovnomerne nabitej gule možno vypočítať tak, že si predstavíme, že bola formovaná postupným vrstvením guľovitých vrstiev na seba.

Ak je hustota náboja vo vnútri gule r, potom náboj Q r rovná sa

Rovnica (8.4) sa stáva

Celková energia potrebná na akumuláciu celej gule nábojov sa rovná integrálu nad dU od r=0 do r=a, t.j.

a ak chceme výsledok vyjadriť celkovým nábojom Q loptu teda

Energia je úmerná druhej mocnine celkového náboja a nepriamo úmerná polomeru. Môžete reprezentovať (8.7) takto: priemerná hodnota (1/r ij) na všetkých pároch bodov vo vnútri lopty sa rovná 6/5 a.

§ 2. Energia kondenzátora. Sily pôsobiace na nabité vodiče

Zoberme si teraz energiu potrebnú na nabitie kondenzátora. Ak je poplatok Q bol odstránený z jednej dosky kondenzátora a prenesený na inú, potom medzi doskami vznikne potenciálny rozdiel rovný

Kde S - kapacita kondenzátora. Koľko práce je potrebné na nabitie kondenzátora? Urobte presne to isté, čo sme urobili s loptou, predstavte si, že kondenzátor je už nabitý prenášaním náboja z jednej dosky na druhú po malých častiach. dQ. Práca potrebná na prevod poplatku dQ,rovnako

Prijímanie V od (8.8), píšeme

Alebo integrácia z Q = 0 na konečné nabitie Q, dostaneme

Túto energiu možno napísať aj ako

Pamätajte, že kapacita vodivej gule (vzhľadom na nekonečno) sa rovná

okamžite získame z rovnice (8.9) energiu nabitej gule

Tento výraz samozrejme platí aj pre energiu jemnohmotného sférická vrstva s plným nabitím Q; ukazuje sa 5/6 energie jednotne účtované loptička [rovnica (8.7)].

Pozrime sa, ako sa aplikuje koncept elektrostatickej energie. Uvažujme o dvoch otázkach. Aká sila pôsobí medzi doskami kondenzátora? Aký rotačný (krútiaci moment) moment má nabitý vodič okolo určitej osi v prítomnosti iného vodiča s opačným nábojom? Na takéto otázky je ľahké odpovedať pomocou nášho výrazu (8.9) pre elektrostatickú energiu kondenzátora a princíp virtuálnej práce (pozri číslo 1, kapitola 4, 13 a 14).

Použime túto metódu na určenie sily pôsobiacej medzi dvoma doskami plochého kondenzátora. Ak si predstavíme, že medzera medzi doskami sa zväčšila o malú hodnotu Dz, potom by sa mechanická práca vykonaná zvonku na oddialenie dosiek od seba rovnala

Kde F- sila pôsobiaca medzi platňami. Táto práca sa musí rovnať zmene elektrostatickej energie kondenzátora, pokiaľ sa náboj kondenzátora nezmenil.

Podľa rovnice (8.9) bola energia kondenzátora spočiatku rovná

Zmena energie (ak nepripustíme zmenu veľkosti náboja) sa potom rovná

Porovnaním (8.12) a (8.13) dostaneme

čo možno napísať aj ako

Je zrejmé, že táto sila tu vzniká priťahovaním nábojov na platniach; vidíme však, že sa nemáme čoho obávať, ako sa tam rozdeľujú; jediné, čo potrebujeme, je vziať do úvahy kapacitu S.

Je ľahké vidieť, ako zovšeobecniť túto myšlienku na vodiče voľného tvaru a iné zložky sily. Nahradíme v rovnici (8.14) F komponent, ktorý nás zaujíma, a Dz - malý posun v zodpovedajúcom smere. Alebo ak máme elektródu namontovanú na nejakej osi, a chceme vedieť krútiaci moment t, tak virtuálnu prácu napíšeme v tvare

kde Dq je malá uhlová rotácia. Samozrejme, teraz musí byť zmena D(1/C). 1/C, zodpovedajúca rotácii na Dq.

Obr. 8.3. Aký krútiaci moment pôsobí na variabilný kondenzátor?

Týmto spôsobom môžeme určiť krútiaci moment pôsobiaci na pohyblivé dosky variabilného kondenzátora znázorneného na obr. 8.3.

Vráťme sa k špeciálnemu prípadu paralelného kondenzátora; môžeme vziať vzorec pre kapacitu odvodený v kap. 6:

Kde A- plocha každého krytu. Ak sa interval zvýši o Dz, potom

Z (8.14) potom vyplýva, že príťažlivá sila medzi oboma platňami je rovná

Pozrime sa bližšie na rovnicu (8.17) a uvidíme, či vieme povedať, ako táto sila vzniká. Ak náboj napíšeme na jednu z doštičiek vo formulári

potom (8.17) možno prepísať takto:

Alebo keďže pole medzi doskami je rovnaké

Okamžite by sa dalo tušiť, že sila pôsobiaca na jednu z dosiek sa bude rovnať náboju Q tejto dosky, vynásobené poľom pôsobiacim na náboj. Čo je však prekvapujúce, je 1/2 faktor. Faktom je, že E 0 - toto nie je pole ktorý pôsobí na poplatky. Ak si predstavíme, že náboj na povrchu platne zaberá nejakú tenkú vrstvu (obr. 8.4), potom sa pole zmení z nuly na vnútornej hranici vrstvy na E 0 v priestore mimo platní. Priemerné pole pôsobiace na povrchové náboje sa rovná E 0 /2. To je dôvod, prečo je v (8.18) faktor 1/2.

Mali by ste si uvedomiť, že pri výpočte virtuálnej práce sme predpokladali, že náboj na kondenzátore je konštantný, že kondenzátor nie je elektricky spojený s inými predmetmi a že celkový náboj sa nemôže meniť.

Obr. 8.4. Pole na povrchu vodiča sa mení z nuly na E 0 = s/e 0 , pri prekročení povrchovej vrstvy náboja. 1 - vodivá doska; 2 - povrchová nábojová vrstva.

Teraz predpokladajme, že počas virtuálnych posunov je kondenzátor udržiavaný na konštantnom potenciálnom rozdiele. Potom by sme museli brať

a namiesto (8.15) by sme mali

čo vedie k sile rovnakej veľkosti, ako je sila získaná v rovnici (8.15) (pretože V = Q/C), ale s opačným znamienkom!

Sila pôsobiaca medzi platňami kondenzátora samozrejme nezmení svoje znamienko, keď kondenzátor odpojíme od zdroja elektriny. Okrem toho vieme, že dve platne s opačnými elektrickými nábojmi sa musia navzájom priťahovať. Princíp virtuálnej práce v druhom prípade bol aplikovaný nesprávne, nebrali sme do úvahy virtuálnu prácu produkovanú zdrojom nabíjaním kondenzátora. To znamená, že s cieľom udržať potenciál na konštantnej hodnote V, pri zmene kapacity musí elektrický zdroj napájať kondenzátor VDC nábojom. Ale tento náboj je dodávaný s potenciálom V, takže práca vykonaná elektrickým systémom udržiavajúcim konštantný náboj je V 2 DC. Mechanické práce.FDz plus táto elektrická práca V 2 DC spolu vedie k zmene celkovej energie kondenzátora o 1/2 V 2 DC. Preto mechanická práca, ako predtým, vyžaduje F D z=- 1 / 2 V 2 DC.

§ 3. Elektrostatická energia iónového kryštálu

Uvažujme teraz o aplikácii konceptu elektrostatickej energie v atómovej fyzike. Sily pôsobiace medzi atómami nevieme ľahko zmerať, ale často nás zaujíma rozdiel v energiách dvoch usporiadaní atómov (napríklad energia chemických zmien). Pretože atómové sily sú v podstate elektrické sily, potom je chemická energia vo svojej hlavnej časti jednoducho elektrostatická energia.

Uvažujme napríklad o elektrostatickej energii iónovej mriežky. Iónový kryštál, ako je NaCl, sa skladá z pozitívnych a negatívnych iónov, ktoré možno považovať za tvrdé guľôčky. Sú elektricky priťahované, kým sa nedotknú; vtedy prichádza na rad odpudivá sila, ktorá sa rýchlo zväčšuje, ak sa ich pokúsime zblížiť.

Pre počiatočnú aproximáciu si predstavme súbor tvrdých guľôčok reprezentujúcich atómy v kryštáli soli. Štruktúra takejto mriežky bola určená pomocou rôntgenovej difrakcie. Táto mriežka je kubická – niečo ako trojrozmerná šachovnica. Jeho prierez je znázornený na obr. 8.5. Medzera medzi iónmi je 2,81 E (alebo 2,81·10-8 cm).

Ak je naša predstava o systéme správna, mali by sme byť schopní ju otestovať položením nasledujúcej otázky: koľko energie bude treba na rozptýlenie týchto iónov, teda na úplné oddelenie kryštálu na ióny? Táto energia sa musí rovnať teplu vyparovania soli plus energii potrebnej na disociáciu molekúl na ióny. Celková energia separácie NaCl na ióny, ako vyplýva z experimentu, je 7,92 ev na molekulu.

Obr. 8.5. Prierez kryštálom soli v mierke niekoľkých atómov.

V dvoch kolmých Komu rovina vzoru prierezu bude mať rovnaké striedavé usporiadanie iónov Na A Cl (pozri vydanie 1, obr. 1.7).

Pomocou konverzného faktora

a Avogadroovo číslo (počet molekúl v gram molekule)

energia vyparovania môže byť vyjadrená vo forme

Obľúbenou jednotkou energie, ktorú používajú fyzikálni chemici, je kilokalória, ktorá sa rovná 4190 j; teda 1 ev na molekulu - je to rovnaké ako 23 kcal/mol. Chemik by teda povedal, že disociačná energia NaCl je

Môžeme získať túto chemickú energiu teoreticky výpočtom, koľko práce by bolo potrebné na vypitvanie kryštálu? Podľa našej teórie sa rovná súčtu potenciálnych energií všetkých párov iónov. Najjednoduchší spôsob, ako získať predstavu o tejto energii, je vybrať jeden ión a vypočítať jeho potenciálnu energiu v porovnaní so všetkými ostatnými iónmi. Toto dá zdvojnásobil energie na ión, pretože energia patrí páry poplatky. Ak potrebujeme energiu spojenú s jedným konkrétnym iónom, musíme vziať polovicu sumy. Čo však skutočne potrebujeme, je energia na molekulu, obsahujúce dva ióny, takže súčet, ktorý vypočítame, nám priamo poskytne energiu na molekulu.

Energia iónu vo vzťahu k jeho najbližšiemu susedovi je -e 2 /a, kde e 2 =q 2 e/4pe 0 , a A- medzera medzi stredmi iónov. (Uvažujeme o jednomocných iónoch.) Táto energia je -5,12 ev; už vidíme, že odpoveď je rádovo správna. Stále však musíme počítať nekonečný rad pojmov.

Začnime sčítaním energií všetkých iónov ležiacich v priamke. Ak vezmeme do úvahy ión označený na obr. 8.5 so symbolom Na, naším zvýrazneným iónom, najskôr uvažujeme tie ióny, ktoré ležia na rovnakej vodorovnej čiare ako on. Najbližšie k nej sú dva ióny chlóru so záporným nábojom, každý vo vzdialenosti I od Na. Potom existujú dva kladné ióny vo vzdialenostiach 2a atď. Označenie tohto súčtu energií ako U 1 , píšme

Séria pomaly konverguje, takže je ťažké to číselne odhadnúť,

ale je známe, že sa rovná ln2. znamená,

Teraz prejdime na najbližšiu čiaru susediacu s vrchom. Najbližší ión je záporný a je vzdialený A. Potom sú dve kladné vo vzdialenostiach Ts2a. Ďalší pár je vo vzdialenosti Ts5a, ďalší je vo vzdialenosti Ts10a atď. Pre celý riadok sa získa riadok

Takéto čiary štyri: hore, dole, vpredu a vzadu. Potom sú tu štyri čiary, ktoré sú diagonálne najbližšie a tak ďalej a tak ďalej.

Ak trpezlivo urobíte výpočty pre všetky riadky a potom ich všetky spočítate, uvidíte, že výsledok je takýto:

Toto číslo je o niečo väčšie ako číslo získané v (8.20) pre prvý riadok. Zvažujem to e 2 /a=- 5,12 ev, dostaneme

Naša odpoveď je približne o 10 % väčšia ako experimentálne pozorovaná energia. Ukazuje, že naša myšlienka, že celá mriežka je držaná pohromade elektrickými Coulombovými silami, je v zásade správna. Prvýkrát sme z našich poznatkov z atómovej fyziky získali špecifickú vlastnosť makroskopickej hmoty. Postupom času dosiahneme oveľa viac. Oblasť vedy, ktorá sa pokúša pochopiť správanie veľkých más hmoty z hľadiska zákonov správania atómov, je tzv. fyzika pevných látok.

Ale čo chyba v našich výpočtoch? Prečo nie sú úplne pravdivé? Nebrali sme do úvahy odpudzovanie medzi iónmi na blízke vzdialenosti. Nie sú to úplne tuhé gule, takže keď sa priblížia, trochu sa sploštia. Ale nie sú veľmi mäkké a len trochu sploštia. Napriek tomu sa na túto deformáciu minie určitá energia a keď sa ióny rozletia, táto energia sa uvoľní. Energia, ktorá je skutočne potrebná na roztlačenie všetkých iónov od seba, je o niečo menšia, ako sme vypočítali; odpudzovanie pomáha prekonať elektrostatickú príťažlivosť.

Dá sa nejako odhadnúť podiel tohto odpudzovania? Áno, ak poznáme zákon odpudivej sily. Zatiaľ nie sme schopní analyzovať detaily odpudzovacieho mechanizmu, ale môžeme si urobiť predstavu o jeho charakteristikách z makroskopických meraní. Meranie stlačiteľnosť kryštálu ako celku možno získať kvantitatívnu predstavu o zákone odpudzovania medzi iónmi, a teda o jeho príspevku k energii. Týmto spôsobom sa zistilo, že tento príspevok by mal byť 1/9,4 príspevku elektrostatickej príťažlivosti a prirodzene by mal mať opačné znamienko. Ak tento príspevok odpočítame od čisto elektrostatickej energie, dostaneme číslo 7,99 pre disociačnú energiu na molekulu ev. To je oveľa bližšie k pozorovanému výsledku 7,92 ev, ale stále nie v úplnej zhode. Je tu ešte jedna vec, ktorú sme nebrali do úvahy: nerobili sme žiadne predpoklady o kinetickej energii vibrácií kryštálu. Ak tento efekt korigujeme, potom okamžite vznikne veľmi dobrá zhoda s experimentálnou hodnotou. To znamená, že naše myšlienky sú správne: hlavný príspevok k energii kryštálu, akým je NaCl, je elektrostatický.

§ 4. Elektrostatická energia jadra

Prejdime teraz k ďalšiemu príkladu elektrostatickej energie v atómovej fyzike – elektrostatickej energii atómového jadra. Predtým, ako sa budeme zaoberať touto otázkou, musíme zvážiť niektoré vlastnosti tých základných síl (nazývaných jadrové sily), ktoré držia pohromade protóny a neutróny v jadre. Najprv po objavení jadier – a protónov s neutrónmi, ktoré ich tvoria – dúfali, že zákon silnej, neelektrickej časti sily pôsobiacej napríklad medzi jedným protónom a druhým, bude mať nejaký jednoduchý forme, podobne ako, povedzme, zákon inverzných štvorcov v elektrine. Ak by bolo možné určiť tento zákon síl a navyše sily pôsobiace medzi protónom a neutrónom a medzi neutrónom a neutrónom, potom by bolo možné teoreticky popísať celé správanie týchto častíc v jadrách. Preto sa začal veľký program skúmať rozptyl protónov v nádeji, že nájde zákon síl pôsobiacich medzi nimi; ale po tridsiatich rokoch úsilia nevzniklo nič jednoduché. O silách pôsobiacich medzi protónom a protónom sa nahromadilo značné množstvo poznatkov, ale zistilo sa, že tieto sily sú také zložité, ako si len možno predstaviť.

Pod pojmom „čo najkomplexnejšie“ rozumieme, že sily závisia od všetkých veličín, od ktorých by mohli závisieť.

Po prvé, sila nie je jednoduchou funkciou vzdialenosti medzi protónmi. Na veľké vzdialenosti je príťažlivosť, na menšie odpudzovanie.

Obr. 8.6. Sila interakcie medzi dvoma protónmi závisí od každého mysliteľného parametra.

Závislosť na vzdialenosti je nejaká komplexná funkcia, ktorá stále nie je príliš známa. Po druhé, sila závisí od orientácie rotácie protónov. Protóny majú rotáciu a dva interagujúce protóny sa môžu otáčať buď rovnakým alebo opačným smerom. A sila, keď sú rotácie rovnobežné, sa líši od sily, keď sú rotácie antiparalelné (obr. 8.6, A A b). Rozdiel je veľký; nemožno to zanedbať.

Po tretie, sila sa výrazne mení v závislosti od paralelný buď medzi protónmi na ich spinoch nie je medzera (obr. 8.6, c a d), alebo kolmý(obr. 8.6, A A b).

Po štvrté, sila, podobne ako v magnetizme, závisí (a ešte oveľa silnejšie) od rýchlosti protónov. A táto rýchlostná závislosť sily nie je v žiadnom prípade relativistickým efektom; je veľká, aj keď je rýchlosť oveľa menšia ako rýchlosť svetla. Navyše táto časť sily závisí okrem veľkosti rýchlosti aj od iných vecí. Napríklad, keď sa protón pohybuje blízko iného protónu, sila sa mení v závislosti od toho, či sa orbitálny pohyb zhoduje v smere rotácie rotácie (obr. 8.6, Obr. d), alebo sú tieto dva smery opačné (obr. 8.6, e). Toto sa nazýva časť sily „spin-orbit“.

Sily interakcie medzi protónom a neutrónom a neutrónom s neutrónom nie sú o nič menej zložité. Dodnes nepoznáme mechanizmus, ktorý tieto sily určuje, nepoznáme žiadny jednoduchý spôsob, ako im porozumieť.

Avšak v jednom dôležitom ohľade sú jadrové sily stále jednoduchšie,čím mohli byť. Jadrový sily pôsobiace medzi dvoma neutrónmi sú rovnaké ako sily pôsobiace medzi protónom a neutrónom a sily pôsobiace medzi dvoma protónmi! Ak v niektorom systéme, v ktorom sú jadrá, nahradíme neutrón protónom (a naopak), potom jadrové interakcie sa nezmení! „Základný dôvod“ tejto rovnosti nám nie je známy, ale je to prejav dôležitého princípu, ktorý možno rozšíriť na zákony interakcie iných silne interagujúcich častíc, ako sú n-mezóny a „zvláštne“ častice.

Túto skutočnosť dokonale ilustruje usporiadanie energetických hladín v podobných jadrách.

Obr. 8.7. Energetické hladiny jadier B 11 a C 11 (energia v MeV). Základný stav C 11 1,982 MeV vyššia ako v rovnakom stave B 11 .

Zoberme si jadro, ako je B 11 (bór-jedenásť), pozostávajúce z piatich protónov a šiestich neutrónov. V jadre týchto jedenásť častíc navzájom interaguje a vykonáva nejaký druh zložitého tanca. Ale existuje kombinácia všetkých možných interakcií, ktorá má najnižšiu možnú energiu; toto je normálny stav jadra a nazýva sa Hlavná Ak je jadro narušené (povedzme nárazom vysokoenergetického protónu alebo inej častice), potom môže prejsť do ľubovoľného počtu ďalších konfigurácií, tzv. vzrušené stavy, z ktorých každý bude mať svoju charakteristickú energiu, ktorá je vyššia ako energia základného stavu. Vo výskume jadrovej fyziky, ktorý sa vykonáva napríklad pomocou Van de Graaffovho generátora, sa experimentálne stanovujú energie a ďalšie vlastnosti týchto excitovaných stavov. Energie pätnástich najnižších známych excitovaných stavov B 11 sú znázornené v jednorozmernom diagrame v ľavej polovici obr. 8.7. Vodorovná čiara nižšie predstavuje základný stav. Prvý excitovaný stav má energiu 2,14 Mev vyššia ako hlavná, ďalšia je 4,46 Mev vyššia ako hlavná atď. Výskumníci sa snažia nájsť vysvetlenie pre tento dosť mätúci obraz energetických hladín; Doteraz však neexistuje úplná všeobecná teória o takejto úrovni jadrovej energie.

Ak sa v B 11 jeden z neutrónov nahradí protónom, získa sa jadro izotopu uhlíka C 11. Merali sa aj energie šestnástich najnižších excitovaných stavov jadra C11; sú znázornené na obr. 8.7 vpravo. (Úrovne, pre ktoré ide o experimentálne informácie, sú označené pomlčkami.)

Pri pohľade na obr. 8.7 si všimneme nápadnú podobnosť medzi vzormi energetickej hladiny oboch jadier. Prvé excitované stavy sa nachádzajú približne na 2 Mev nad hlavným. Potom je tu široká medzera so šírkou 2,3 maev, oddelenie druhého excitovaného stavu od prvého, potom malý skok o 0,5 Mev až do tretieho stupňa. Potom je opäť veľký skok zo štvrtej na piatu úroveň, ale medzi piatou a šiestou je úzka medzera 0,1 Mev. A tak ďalej. Približne na desiatej úrovni sa zdá, že korešpondencia zmizne, ale stále ju možno zistiť, ak úrovne označíme inými charakteristikami, povedzme ich momentom hybnosti a spôsobom, akým strácajú svoju prebytočnú energiu.

Pôsobivá podobnosť medzi energetickými hladinami jadier B 11 a C 11 nie je v žiadnom prípade len náhoda. Skrýva za tým nejaký fyzikálny zákon. V skutočnosti to ukazuje, že aj v ťažkých jadrových podmienkach sa nahradenie neutrónu protónom zmení len málo. To môže znamenať len to, že sily neutrón-neutrón a protón-protón by mali byť takmer rovnaké. Až potom by sme očakávali, že jadrové konfigurácie piatich protónov a šiestich neutrónov budú zodpovedať kombinácii päť neutrónov a šiestich protónov.

Všimnite si, že vlastnosti týchto jadier nám nehovoria nič o silách neutrón-protón; počet kombinácií neutrón-protón v oboch jadrách je rovnaký. Ale ak porovnáme dve ďalšie jadrá, ako napríklad C 14 so šiestimi protónmi a ôsmimi neutrónmi a N 14, v ktorých je ich sedem, odhalíme rovnakú zhodu v energetických hladinách. Dá sa usúdiť, že p-p-, n-n- A R-n-sily sa navzájom zhodujú vo všetkých detailoch. V zákonoch jadrových síl vznikol neočakávaný princíp. Hoci sily pôsobiace medzi každým párom jadrových častíc sú veľmi zložité, sily interakcie pre ktorýkoľvek z troch mysliteľných párov sú rovnaké.

Je tu však niekoľko drobných rozdielov. Neexistuje presná zhoda medzi úrovňami; okrem toho má základný stav C11 absolútnu energiu (hmotnosť), ktorá je 1,982 Mev nad základným stavom B 11. Všetky ostatné úrovne sú tiež vyššie v absolútnej energii o rovnaké číslo. Takže sily nie sú úplne rovnaké. Ale to už veľmi dobre vieme plný, veľkosť síl nie je úplne rovnaká; pôsobiť medzi dvoma protónmi elektrický sily, pretože každá z nich je kladne nabitá, ale medzi neutrónmi takéto sily nie sú. Možno je rozdiel medzi B11 a C11 vysvetlený skutočnosťou, že v týchto dvoch prípadoch sú elektrické interakcie protónov odlišné? Alebo možno zostávajúci minimálny rozdiel v úrovniach je spôsobený elektrickými účinkami? Keďže jadrové sily sú také silné v porovnaní s elektrickými, elektrické účinky môžu len mierne narušiť energetické hladiny.

Aby sme otestovali túto myšlienku, alebo ešte lepšie, aby sme zistili, k akým dôsledkom to povedie, najprv zvážime rozdiel v energiách základných stavov oboch jadier. Aby bol model veľmi jednoduchý, predpokladajme, že jadrá sú guľôčky s polomerom r (ktorý je potrebné určiť) obsahujúce protóny Z. Ak jadro považujeme za guľu s rovnomerne rozloženým nábojom, potom môžeme očakávať, že elektrostatická energia [z rovnice (8.7)] sa bude rovnať

Kde q e - elementárny náboj protónu. Vzhľadom na skutočnosť, že Z je rovné päť pre B11 a šesť pre C11, elektrostatické energie sa budú líšiť.

Ale s tak malým počtom protónov rovnica (8.22) nie je úplne správna. Ak vypočítame elektrickú energiu interakcie všetkých párov protónov, uvažovaných ako body približne rovnomerne rozložené po loptičke, uvidíme, že hodnotu Z 2 v (8.22) budeme musieť nahradiť Z(Z- 1), takže energia bude rovnaká

Ak je známy polomer jadra r, môžeme pomocou výrazu (8.23) určiť rozdiel v elektrostatických energiách jadier B 11 a C 11. Ale urobme opak: z pozorovaného rozdielu energií vypočítame polomer za predpokladu, že celý existujúci rozdiel je elektrostatického pôvodu. Vo všeobecnosti to nie je úplne pravda. Energetický rozdiel 1,982 Mev dva hlavné stavy B11 a C11 zahŕňajú pokojové energie, t.j. energie tc 2 všetky častice. Prechodom z B 11 na C 11 nahradíme neutrón protónom, ktorého hmotnosť je o niečo menšia. Časť energetického rozdielu je teda rozdiel v pokojových hmotnostiach neutrónu a protónu, ktorý je 0,784 Mev. Rozdiel, ktorý treba porovnať s elektrostatickou energiou, je teda väčší ako 1,982 mev; je to rovné

Dosadením tejto energie do (8.23) dostaneme pre polomer B 11 alebo C 11

Má toto číslo nejaký význam? Aby sme si to overili, porovnajme to s inými definíciami polomerov týchto jadier.

Polomer jadra môžete napríklad určiť inak, keď budete pozorovať, ako rozptyľuje rýchle častice. Počas týchto meraní sa ukázalo, že hustota látka vo všetkých jadrách je približne rovnaká, t.j. ich objemy sú úmerné počtu častíc, ktoré obsahujú. Ak cez A označte počet protónov a neutrónov v jadre (počet veľmi blízko úmerný jeho hmotnosti), ukazuje sa, že polomer jadra je daný

Z týchto meraní získame, že polomer jadra B 11 (alebo C 1 1) by sa mal približne rovnať

Pri porovnaní s výrazom (8.24) uvidíme, že naše predpoklady o elektrostatickom pôvode rozdielu energií B 11 a C 11 nie sú až také nesprávne; rozdiel dosahuje sotva 15 % (a to nie je až také zlé na prvý výpočet podľa jadrovej teórie!).

Dôvod nezrovnalosti je s najväčšou pravdepodobnosťou nasledujúci. Podľa nášho súčasného chápania jadier párny počet jadrových častíc (v prípade B 11 päť neutrónov s piatimi protónmi) tvorí akýsi škrupina; keď sa do tohto obalu pridá ďalšia častica, namiesto toho, aby sa absorbovala, začne obiehať okolo obalu. Ak je to tak, potom pre ďalší protón musíte vziať inú hodnotu elektrostatickej energie. Musíme predpokladať, že prebytok energie C 11 nad B 11 je presne rovný

t.j. rovná sa energii potrebnej na to, aby sa ďalší protón objavil mimo obalu. Toto číslo je 5/6 hodnoty predpovedanej rovnicou (8.23), takže nová hodnota polomeru sa bude rovnať 5/6 hodnoty (8.24). Oveľa lepšie sa zhoduje s priamymi meraniami.

Zhoda v číslach vedie k dvom záverom. Najprv: zákony elektriny zjavne fungujú na takých malých vzdialenostiach, ako je 10 -1 3 pozri druhý: Sme presvedčení o pozoruhodnej zhode – neelektrická časť interakčných síl protónu s protónom, neutrónu s neutrónom a protónu s neutrónom je rovnaká.

§ 5. Energia v elektrostatickom poli

Uvažujme teraz o iných spôsoboch výpočtu elektrostatickej energie. Všetky sa dajú získať z hlavného vzťahu (8.3) sčítaním (nad všetkými pármi) vzájomných energií každého páru nábojov. Najprv chceme napísať výraz pre energiu rozloženia náboja. Ako obvykle predpokladáme, že každý objemový prvok dV obsahuje nábojový prvok p.d.V. Potom bude rovnica (8.3) napísaná takto:

Všimnite si vzhľad 1/2 faktora. Vznikol vďaka tomu, že v dvojitom integráli nad dV 1 a podľa dV 2 každý pár nábojových prvkov bol počítaný dvakrát. (Neexistuje vhodný zápis pre integrál, v ktorom sa každý pár počíta len raz.) Potom si všimnite, že integrál nad dV 2 v (8.27) je jednoducho potenciál v bode (1), t.j.

takže (8.27) možno písať ako

A keďže vypadol bod (2), môžeme jednoducho písať

Túto rovnicu možno interpretovať nasledovne. Potenciálna nábojová energia rdV sa rovná súčinu tohto náboja a potenciálu v rovnakom bode. Všetka energia sa teda rovná integrálu jrdV. Ale okrem toho je tu faktor 1/2. Je to stále potrebné, pretože energie sa počítajú dvakrát. Vzájomná energia dvoch nábojov sa v tomto bode rovná náboju jedného z nich na potenciáli druhého. Alebo náboj druhého na potenciál prvého v druhom bode. Takže za dva bodové poplatky môžeme písať

Upozorňujeme, že to možno napísať aj takto:

Integrálu v (8.28) zodpovedá pridanie oboch členov v zátvorkách výrazu (8.29). Preto je potrebný 1/2 násobiteľ.

Ďalšou zaujímavou otázkou je: kde sa nachádza elektrostatická energia? Je pravda, že v odpovedi sa možno pýtať: naozaj na tom záleží?

Má takáto otázka zmysel? Ak existuje pár interagujúcich nábojov, potom ich kombinácia má určitú energiu. Naozaj je potrebné objasniť, že energia sa sústreďuje na tento náboj, alebo tamto, alebo na oba naraz, alebo medzi nimi? Všetky tieto otázky sú nezmyselné, pretože vieme, že v skutočnosti sa šetrí iba celková, celková energia. Myšlienka, že energia je koncentrovaná niekde, nie je naozaj potrebné.

No, stále predpokladajme, že skutočnosť, že energia je vždy sústredená na nejakom konkrétnom mieste (napríklad tepelná energia). má to zmysel. Potom by sme mohli náš princíp zachovania energie rozšíriť, spájať to s myšlienkou, že ak sa energia zmení v určitom objeme, tak túto zmenu možno zohľadniť pozorovaním prítoku alebo odtoku energie z objemu. Chápete, že naše pôvodné tvrdenie o zachovaní energie bude stále úplne pravdivé, ak nejaká energia zmizne na jednom mieste a objaví sa niekde ďaleko na inom a medzi týmito miestami sa nič nestane (nič - to znamená, že nenastanú žiadne zvláštne javy) . Preto teraz môžeme prejsť k rozšíreniu našich predstáv o zachovaní energie. Nazvime toto rozšírenie princíp miestne(lokálna) úspora energie. Takýto princíp by deklaroval, že energia v rámci daného objemu sa mení iba o množstvo rovnajúce sa prítoku (alebo strate) energie do (alebo von) objemu. Takáto lokálna úspora energie je skutočne celkom možná. Ak je to tak, potom budeme mať k dispozícii oveľa podrobnejší zákon, než len jednoduché vyhlásenie o zachovaní celkovej energie. A ako sa ukazuje, v prírode energia sa skutočne ukladá lokálne, na každom mieste zvlášť, a môžu byť napísané vzorce, ktoré ukazujú, kde je energia sústredená a ako prúdi z miesta na miesto.

Je tu tiež fyzické existuje dôvod požadovať, aby sme boli schopní presne určiť, kde sa energia nachádza. Podľa teórie gravitácie je každá hmota zdrojom gravitačnej príťažlivosti. A podľa zákona E = ts 2 tiež vieme, že hmotnosť a energia sú si navzájom úplne ekvivalentné. Preto je všetka energia zdrojom gravitačnej sily. A ak sme nemohli vedieť, kde je energia, nemohli by sme vedieť, kde je hmotnosť. Nevedeli sme povedať, kde sa nachádzajú zdroje gravitačného poľa. A teória gravitácie by sa stala neúplnou.

Samozrejme, ak sa obmedzíme na elektrostatiku, potom nemáme odkiaľ vedieť, kde je energia sústredená. Ale kompletný systém Maxwellových rovníc elektrodynamiky nám poskytne neporovnateľne úplnejšie informácie (aj keď ani vtedy, prísne vzaté, odpoveď nebude úplne istá). Na túto problematiku sa pozrieme podrobnejšie neskôr. A teraz uvádzame len výsledok týkajúci sa špeciálneho prípadu elektrostatiky

Obr. 8.8. Každý objemový prvok dV=dxdydz v elektrickom poli obsahuje energiu(e 0/2) E 2 dV.

Energia je obsiahnutá v priestore, kde je elektrické pole. To je zrejme celkom rozumné, pretože je známe, že keď sa náboje zrýchľujú, vyžarujú elektrické polia. A keď svetlo alebo rádiové vlny putujú z bodu do bodu, nesú so sebou svoju energiu. Ale tieto vlny nemajú žiadne poplatky. Chcel by som teda umiestniť energiu tam, kde je elektromagnetické pole, a nie tam, kde sú náboje, ktoré toto pole vytvárajú. Energiu teda nepopisujeme rečou nábojov, ale rečou polí, ktoré vytvárajú. V skutočnosti môžeme ukázať, že rovnica (8.28) číselne sa zhoduje s

Tento vzorec možno interpretovať tak, že v mieste v priestore, kde je prítomné elektrické pole, sa koncentruje energia; hustota ee (množstvo energie na jednotku objemu) sa rovná

Táto myšlienka je znázornená na obr. 8.8.

Aby sme ukázali, že rovnica (8.30) je v súlade s našimi zákonmi elektrostatiky, začneme tým, že do rovnice (8.28) uvedieme vzťah medzi r a j získaný v kapitole. 6:

Po napísaní výrazu integrand po komponentoch sme

to uvidime

A náš energetický integrál sa potom rovná

Pomocou Gaussovej vety možno druhý integrál premeniť na plošný integrál:

Tento integrál vypočítame pre prípad, keď sa plocha rozprestiera do nekonečna (takže integrál nad objemom sa stane integrálom cez celý priestor) a všetky náboje sú umiestnené v konečnej vzdialenosti od seba. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je vziať povrch gule s obrovským polomerom so stredom v počiatku. Vieme, že zďaleka nie všetky náboje j sa menia ako 1/R a Сj ako 1/R 2 . (A ešte rýchlejšie, ak je celkový náboj nulový.) Povrchová plocha veľkej gule sa zväčšuje len ako R2, takže integrál nad povrchom klesá so zvyšovaním polomeru gule.

(1/R)(1/R2)/R2= (1/R). Ak teda naša integrácia pokrýva celý priestor (R® Ґ), potom povrchový integrál zmizne a nájdeme

Vidíme, že je možné reprezentovať energiu ľubovoľného rozloženia náboja ako integrál hustoty energie sústredenej v poli.

§ 6. Energia bodového náboja

Nový vzťah (8.35) nám hovorí, že aj pre individuálny bodový poplatok q existuje nejaký druh elektrostatickej energie. Pole je v tomto prípade dané výrazom

takže hustota energie vo vzdialenosti r od náboja sa rovná

Ako objemový prvok možno brať guľovú vrstvu hrúbky DR, plocha rovná 4pr 2. Celková energia bude

Horná hranica r=Ґ nevedie k ťažkostiam. Ale keďže náboj je bod, máme v úmysle integrovať celú cestu k nule (r=0), čo znamená nekonečno v integráli. Rovnica (8.35) hovorí, že pole jednobodového náboja obsahuje nekonečné množstvo energie, hoci sme začali s myšlienkou, že existuje iba energia medzi bodové poplatky. V našej pôvodnej forme pre energiu súboru bodových nábojov (8.3) sme nezahrnuli žiadnu energiu na interakciu náboja so sebou samým. Čo sa vtedy stalo? A skutočnosť, že prechádzajúc rovnicou (8.27) ku spojitému rozloženiu nábojov, počítali sme interakciu akýchkoľvek nekonečne malý náboj so všetkými ostatnými nekonečne malými nábojmi. Rovnaká úvaha bola zohľadnená v rovnici (8.35), takže keď ju aplikujeme na Konečný bodový náboj, zahrnieme do integrálu energiu, ktorá by bola potrebná na akumuláciu tohto náboja z nekonečne malých častí. Možno ste si všimli, že výsledok z rovnice (8.36) z výrazu (8.11) by sme mohli získať aj pre energiu nabitej gule, smerujúcej jej polomer k nule.

Sme nútení dospieť k záveru, že myšlienka, že energia je sústredená v poli, nie je v súlade s predpokladom existencie bodových nábojov. Jedným zo spôsobov, ako prekonať tento problém, je povedať, že elementárne náboje (napríklad elektrón) v skutočnosti vôbec nie sú body, ale malé rozloženie náboja. Dá sa však povedať aj opak: nesprávnosť má korene v našej teórii elektriny na veľmi krátke vzdialenosti alebo v našej predstave o zachovaní energie na každom mieste zvlášť. Ale každý takýto uhol pohľadu stále naráža na ťažkosti. A ešte nikdy neboli prekonané; existujú dodnes. O niečo neskôr, keď sa zoznámime s niektorými ďalšími pojmami, ako je pulz elektromagnetického poľa, povieme si podrobnejšie o týchto základných ťažkostiach v našom chápaní prírody.

7. Energia elektrického poľa

(Príklady riešenia problémov)

Energia interakcie náboja

Príklad 1

Určte elektrickú energiu interakcie bodových nábojov umiestnených vo vrcholoch štvorca so stranou a(pozri obr. 2).

Riešenie.

Na obr. 3 sú všetky párové interakcie nábojov konvenčne znázornené obojsmernými šípkami. Ak vezmeme do úvahy energie všetkých týchto interakcií, získame:

Príklad 2

Určte elektrickú energiu interakcie nabitého prstenca s dipólom umiestneným na jeho osi, ako je znázornené na obr. Známe vzdialenosti a, l, poplatky Q, q a polomer prstenca R.

Riešenie.

Kde
- náboj nekonečne malého fragmentu kruhu, - vzdialenosť od tohto fragmentu k náboju q. Pretože všetko rovnaký a rovný
, To

Podobne nájdeme interakčnú energiu bodového náboja – q s nabitým prstencom:

Zhrnutie W 1 a W 2 získame pre energiu interakcie prstenca s dipólom:

Elektrická energia nabitých vodičov

Príklad 3

Určte prácu vykonanú elektrickými silami, keď sa polomer rovnomerne nabitej gule zníži o faktor 2. Guľový náboj q, jeho počiatočný polomer R.

Riešenie.

Elektrická energia osamelého vodiča je určená vzorcom
, Kde q– náboj vodiča,  – jeho potenciál. Vzhľadom na to, že potenciál rovnomerne nabitej gule s polomerom R rovná sa
, nájdime jeho elektrickú energiu:

Po polovičnom polomere gule sa jej energia rovná

Elektrické sily fungujú

Príklad 4.

Riešenie.

Po spojení guľôčok tenkým drôtom sa ich potenciál zhoduje

a stabilné náboje loptičiek Q 1 a Q 2 sa získajú ako výsledok toku náboja z jednej gule do druhej. V tomto prípade zostáva celkový náboj guľôčok konštantný:

Z týchto rovníc zistíme

,
.

Energia guľôčok pred ich spojením drôtom sa rovná

a po pripojení

Nahradenie hodnôt do posledného výrazu Q 1 a Q 2, získame po jednoduchých transformáciách

Príklad 5.

Riešenie.

Keď sa ortuťové guľôčky zlúčia, ich celkový náboj a objem sa zachovajú:

Kde Q- náboj lopty, R- jeho polomer, r je polomer každej malej ortuťovej guľôčky. Celková elektrická energia N osamelé lopty sa rovná

Elektrická energia výslednej gule

Po algebraických transformáciách dostaneme

= 4.

Príklad 6.

Kovová guľa s rádiusom R= 1 mm a nabite q= 0,1 nC z veľkej vzdialenosti sa pomaly približujú k nenabitému vodiču a zastavia sa, keď sa potenciál gule rovná  = 450 V. Akú prácu treba na to urobiť?

Riešenie.

Kde q 1 a q 2 – náboje vodičov,  1 a  2 – ich potenciály. Keďže vodič podľa problému nie je nabitý, potom

Kde q 1 a 1 náboj a potenciál lopty. Keď sú loptička a nenabitý vodič vo veľkej vzdialenosti od seba,

a elektrickej energie systému

V konečnom stave systému, keď sa potenciál lopty rovná , elektrická energia systému je:

Práca vonkajších síl sa rovná prírastku elektrickej energie:

= -0,0225 uJ.

Príklad 7 .

Systém pozostáva z dvoch sústredných tenkých kovových plášťov s polomermi R 1 a R 2 (
a zodpovedajúce poplatky q 1 a q 2. Nájdite elektrickú energiu W systémov. Zvážte aj špeciálny prípad, kedy
.

Riešenie.

Elektrická energia systému dvoch nabitých vodičov je určená vzorcom

Na vyriešenie problému je potrebné nájsť potenciály vnútornej ( 1) a vonkajšej ( 2) sféry. Nie je to ťažké urobiť (pozri príslušnú časť návodu):

,
.

Nahradením týchto výrazov do vzorca pre energiu dostaneme

O
energia je rovnaká

Vlastná elektrická energia a interakčná energia

Príklad 8.

Riešenie.

Elektrická energia dvoch nabitých gúľ vzdialených od seba sa rovná

Elektrická energia výsledného guľového kondenzátora:

Potenciál vnútornej sféry,
- potenciál vonkajšej sféry. teda

Práca elektrických síl s týmto dizajnom kondenzátora:

Všimnite si, že elektrická energia guľového kondenzátora W 2 sa rovná práci vykonanej vonkajšími silami na nabitie kondenzátora. V tomto prípade fungujú elektrické sily
. Táto práca sa vykonáva nielen vtedy, keď sa nabité dosky priblížia k sebe, ale aj keď sa na každú z dosiek aplikuje náboj. Preto A EL sa líši od práce uvedenej vyššie A, zdokonalený elektrickými silami až vtedy, keď sa dosky spoja.

Príklad 9.

Riešenie.

Energia interakcie bodového náboja q s nábojmi umiestnenými na sférickom plášti polomeru R rovná

Samoelektrická energia plášťa (energia vzájomného pôsobenia nábojov plášťa) sa rovná:

Práca elektrických síl počas expanzie plášťa:

Po transformáciách dostaneme

1,8 J.

Iné riešenie

Predstavme si bodový náboj vo forme rovnomerne nabitej gule s malým polomerom r a nabíjať q. Celková elektrická energia systému sa rovná

Potenciál polomeru sféry r,

Potenciál polomeru sféry R. Keď sa vonkajšia guľa roztiahne, elektrické sily fungujú

Po substitúciách a transformáciách dostaneme odpoveď.

Objemová hustota energie elektrického poľa

Príklad 10 .

Aká časť elektrickej energie nabitej vodivej gule umiestnenej vo vákuu je obsiahnutá v imaginárnej gule sústrednej s guľou, ktorej polomer je n krát polomer lopty?

Riešenie.

Objemová hustota energie elektrického poľa

definuje elektrickú energiu
, lokalizované v nekonečne malom objeme
(E– modul vektora intenzity elektrického poľa v tomto objeme,  – dielektrická konštanta). Aby sme vypočítali celkovú elektrickú energiu nabitej vodivej gule, mentálne rozdeľme celý priestor na nekonečne tenké sférické vrstvy sústredné s nabitou guľou. Zoberme si jednu z týchto vrstiev polomeru r a hrúbka DR(pozri obr. 5). Jeho objem je

a elektrická energia sústredená vo vrstve

Napätie E pole nabitej vodivej gule závisí, ako je známe, od vzdialenosti r do stredu lopty. Vo vnútri lopty
, preto pri výpočte energie stačí uvažovať len tie sférické vrstvy, ktorých polomer r ktorý presahuje polomer gule R.

O
sila poľa

dielektrická konštanta
a preto

Kde q– náboj lopty.

Celková elektrická energia nabitej gule je určená integrálom

a energia sústredená vo vnútri pomyselnej sféry polomeru nR, je rovnaký

teda

Príklad 11.

Riešenie.

Indukované náboje sú rozložené na vnútornom a vonkajšom povrchu guľovej vrstvy. Ich algebraický súčet je nula, takže indukované náboje nevytvárajú elektrické pole pri
, Kde r– vzdialenosť od stredu systému. V oblasti
intenzita poľa indukovaných nábojov je tiež nulová, pretože sú rovnomerne rozložené po guľových plochách. Elektrické pole systému sa teda zhoduje s poľom gule rovnomerne nabitej na povrchu, s výnimkou vnútornej oblasti guľovej vrstvy, kde E= 0. Obrázok 7 zobrazuje približný graf závislosti
. Ak vynecháme podrobné výpočty (pozri príklad 10), napíšeme pre elektrickú energiu systému:

Kde
,
,
. Po integrácii dostaneme

Príklad 12.

Počiatočný poplatok q rovnomerne rozložené po celom objeme gule s polomerom R. Potom sa v dôsledku vzájomného odpudzovania náboje presunú na povrch gule. Akú prácu vykonávajú elektrické sily? Uvažujme dielektrickú konštantu rovnajúcu sa jednotke.

Riešenie.

Práca elektrických síl sa rovná strate elektrickej energie:

Kde W 1 – elektrická energia gule rovnomerne nabitá v celom objeme, W 2 – energia tej istej gule, rovnomerne nabitá po povrchu. Keďže celkový náboj je v oboch prípadoch rovnaký, elektrické pole mimo gule sa pri prechode náboja z objemu na povrch nemení. Elektrické pole a energia sa menia iba vo vnútri lopty.

Pomocou Gaussovej vety môžeme odvodiť vzorec pre intenzitu poľa vo vnútri rovnomerne nabitej gule na diaľku r z jeho stredu:

Elektrická energia sústredená vo vnútri lopty je určená integrálom:

Keď sa všetky náboje prenesú na povrch lopty, elektrické pole, a teda aj energia elektrického poľa vo vnútri lopty, sa vynuluje. teda

Nabíjačka je fyzikálna veličina charakterizujúca schopnosť častíc alebo telies vstupovať do elektromagnetických interakcií. Elektrický náboj je zvyčajne reprezentovaný písmenami q alebo Q. V sústave SI sa elektrický náboj meria v Coulombs (C). Bezplatný poplatok 1 C je obrovský poplatok, ktorý sa v prírode prakticky nevyskytuje. Typicky sa budete musieť vysporiadať s mikrocoulombmi (1 µC = 10 -6 C), nanokulombmi (1 nC = 10 -9 C) a pikokulombmi (1 pC = 10 -12 C). Elektrický náboj má nasledujúce vlastnosti:

Tento faktor sa nazýva potenciál elektrického bodu. To znamená: v elektromagnetizme je elektrický potenciál alebo elektrostatický potenciál pole ekvivalentné potenciálnej energii spojenej so statickým elektrickým poľom vydelenej elektrickým nábojom testovanej častice. Rovnako ako dobrý potenciál, iba fyzické rozdiely v potenciáloch majú fyzický význam. Elektrostatika je časť štúdia elektriny, ktorá študuje elektrické náboje bez pohybu, teda v pokoji.

Elektrostatika a elektrodynamika

Elektrostatické tienenie robí elektrické pole nulovým. Je to spôsobené distribúciou prebytočných elektrických nábojov vo vodiči. Záťaže rovnakého signálu majú tendenciu miznúť, kým nedosiahnu odpočinok. Zatiaľ čo elektrostatika študuje elektrické náboje bez pohybu, elektrodynamika študuje náboje v pohybe.

1. Elektrický náboj je druh hmoty.

2. Elektrický náboj nezávisí od pohybu častice a jej rýchlosti.

3. Náboje je možné prenášať (napríklad priamym kontaktom) z jedného tela na druhé. Na rozdiel od telesnej hmotnosti nie je elektrický náboj integrálnou charakteristikou daného telesa. To isté teleso za rôznych podmienok môže mať rôzny náboj.

Elektrostatika a elektrodynamika sú teda odbory fyziky, ktoré sa zaoberajú rôznymi aspektmi elektriny. Okrem týchto polí existuje aj elektromagnetizmus, ktorý skúma schopnosť elektriny priťahovať a potláčať póly.

Po dosiahnutí rovnováhy sa guľa A dostane do kontaktu s ďalšou identickou guľou C, ktorá má elektrický náboj 3e. Aká bude hustota elektrického náboja v tejto oblasti? Hydrofóbna povaha polyuretánu je spôsobená silou elektrostatického odpudzovania medzi molekulami materiálu a molekulami vody, čo je fyzikálny jav, ktorý sa vyskytuje medzi telesami s elektrickým nábojom rovnakého signálu. Je správne povedať, že sila je elektrostatické odpudzovanie.

4. Existujú dva typy elektrických nábojov, ktoré sa bežne nazývajú pozitívne A negatívne.

5. Všetky poplatky sa navzájom ovplyvňujú. V tomto prípade ako náboje odpudzujú, na rozdiel od nábojov priťahujú. Sily interakcie medzi nábojmi sú centrálne, to znamená, že ležia na priamke spájajúcej stredy nábojov.

To je dôvod, prečo sa vrátiť k vyššie uvedeným príkladom a položiť si otázku, prečo sa pružina zastaví dostatočne rýchlo na to, aby oscilovala, ako hojdačka, ak nie je udržiavaná v pohybe. Dochádza totiž k treniu a vzniká teplo bez toho, aby sme si to uvedomovali. Energia je veľmi konštantná, ale časť sa rozptýli ako teplo.

Zásobník materiálovej, elektrickej a jadrovej energie

Na rozdiel od hmotnosti však môže byť náboj buď pozitívny alebo negatívny: sila je potom príťažlivá, ak majú náboje opačné znamienka, ale odpudivá, ak majú rovnaké znamienko. V elektrickom článku alebo inom generátore sú kladné elektrické náboje distribuované na kladnom póle a záporné elektrické náboje sú distribuované na opačnom póle.

6. Existuje minimálny možný (modulo) elektrický náboj, tzv elementárny náboj. Jeho význam:

e= 1,602177·10 –19 °C ≈ 1,6·10 –19 °C.

Elektrický náboj akéhokoľvek telesa je vždy násobkom elementárneho náboja:

Kde: N– celé číslo. Upozorňujeme, že nie je možné, aby existoval poplatok rovnajúci sa 0,5 e; 1,7e; 22,7e a tak ďalej. Fyzikálne veličiny, ktoré môžu nadobudnúť iba diskrétne (nie spojité) série hodnôt, sa nazývajú kvantované. Elementárny náboj e je kvantum (najmenšia časť) elektrického náboja.

Okrem svojich prejavov v elektrine je táto „coulombovská“ interakcia zodpovedná za stabilitu hmoty. Jadrá kladného elektrického náboja priťahujú záporné elektróny, čo spôsobuje, že vytvárajú atómy, ktoré sa navzájom priťahujú. Navyše, keď dôjde k chemickej reakcii, výsledkom je reorganizácia jadier a elektrónov a modifikácia Coulombovej energie. Toto sa nazýva chemická energia. Palivo ako uhlie, benzín alebo vodík je zásobárňou chemickej energie, no táto energia nie je nič iné ako Coulombova energia.

V izolovanom systéme zostáva algebraický súčet nábojov všetkých telies konštantný:

Zákon zachovania elektrického náboja hovorí, že v uzavretej sústave telies nemožno pozorovať procesy vzniku alebo zániku nábojov len jedného znamienka. Zo zákona zachovania náboja tiež vyplýva, že ak dve telesá rovnakej veľkosti a tvaru majú náboj q 1 a q 2 (vôbec nezáleží na tom, aké znamenie sú náboje), priveďte do kontaktu a potom znova oddeľte, potom sa náboj každého z telies vyrovná:

Elastická energia pružiny, o ktorej sme hovorili vyššie, je tiež dôsledkom Coulombovej interakcie. Jadrové jadrá majú tiež jadrové interakcie, ktoré sú navzájom veľmi blízko, a preto sú dôležité iba v rámci týchto jadier. Viažu nukleóny, t.j. protóny a neutróny. Spojením svetelných jadier sa teda môže uvoľniť obrovská energia. Obrovská energia sa získava aj štiepením ťažkých jadier, ako je urán, ktorý sa vyrába v A bombe alebo v jadrovom reaktore štiepením jadra.

elektrické pole

w = 1 2 ε 0 E2 + 1 2 E P. (11)

IN Vo vzorci (11) prvý člen vyjadruje hustotu energie elektrického poľa vo vákuu a druhý člen vyjadruje energiu vynaloženú na polarizáciu jednotkového objemu dielektrika.

IN vo všeobecnom prípade nerovnomerného elektrického poľa jeho energia v určitom objeme V možno vypočítať pomocou vzorca

4. Ponderomotorické sily. Aplikácia zákona zachovania energie na výpočet podromotorických síl.

Každé nabité teleso umiestnené v elektrickom poli je vystavené mechanickej sile. Ponderomotorické sily pôsobiace z elektrického poľa na makroskopické nabité telesá.

Určme silu vzájomnej príťažlivosti medzi opačne nabitými doskami plochého kondenzátora (ponderomotorická sila) dvoma spôsobmi.

Na jednej strane môže byť táto sila definovaná ako sila F 2 pôsobiaca na druhú dosku zo strany prvej

F 2 = Q 2E 1, (14)

kde Q2 je množstvo náboja na druhej doske, E1 je intenzita poľa prvej dosky. Množstvo náboja Q 2 druhej dosky je určené vzorcom

Q2 = σ2S, (15)

kde σ 2 je hustota povrchového náboja na druhej doske a intenzita poľa E 1 vytvorená prvou doskou sa vypočíta podľa vzorca

E1 = σ1, (16)

kde σ 1 je hustota povrchového náboja na prvej doske. Nahraďte vzorce (16) a (15) do vzorca (14)

Ak vezmeme do úvahy, že σ = D = ε 0 ε E, dostaneme vzorec pre silu pôsobiacu na jednu dosku od druhej.

Pre silu pôsobiacu na jednotku plochy dosky bude vzorec nasledujúci

F = e0eE2. (18)

Teraz získame vzorec pre ponderomotorickú silu pomocou zákona zachovania energie. Ak sa teleso pohybuje v elektrickom poli, potom ide o podromotorické sily

poľa sa vykoná práca A. Podľa zákona zachovania energie sa táto práca vykoná vďaka energii poľa, tj.

A + W = 0 alebo A = W. (19)

Práca vykonaná na zmene vzdialenosti medzi doskami nabitého kondenzátora o hodnotu dx je určená vzorcom

kde F je sila interakcie medzi platňami (ponderomotorická sila).

Energia nabitého kondenzátora je určená vzorcom (9). Keď sa jedna z dosiek posunie o vzdialenosť dx, energia kondenzátora sa zmení o hodnotu W

Ako vidíte, vzorce (18) a (22) sú rovnaké. Súčasne použitie zákona zachovania energie na výpočet podromotorických síl výrazne zjednodušuje výpočty.

Otázky na autotest:

1. Odvoďte vzorec pre energiu osamelého nabitého vodiča a sústavy vodičov.

2. Čo je nosičom elektrickej energie? Čo znamená volumetrický

interakcia medzi doskami nabiteho kondenzatora?